代数基础

莱昂哈德·欧拉 著  |  约瑟夫-路易·拉格朗日 附注

原著：Vollständige Anleitung zur Algebra（1765年）
英译：约翰·休利特（1822年），基于2015年版重新编辑
本页为中文翻译，保留原著数学公式

欧拉生平传记

作者：弗朗西斯·霍纳

莱昂哈德·欧拉，1707年4月15日出生于巴塞尔附近一个牧师家庭。他对数学的天赋很快就显现出来，在父亲的教导下轻松掌握了基础知识，随后被送入巴塞尔大学深造。在那里，他的才能和勤奋引起了约翰·伯努利的特别关注。这位杰出的数学家似乎预见了这位青年在科学上的未来成就，并悉心培养他的能力——每周给他一次私人辅导课，讨论学生自上次会面以来的学习进展，解决可能遇到的困难，并安排下一周的阅读和练习。

在如此优越的条件下，欧拉取得了迅速的进步。十七岁时，他获得了硕士学位，其答辩论文是笛卡尔体系与牛顿体系的比较，广受赞誉。

他的父亲原本一直打算让他继承牧职，因此要求他放弃数学研究，转向神学和人文学科。然而，这位开明的父亲终于认识到不应违背天才的禀赋，允许莱昂哈德重新回到他热爱的研究中。十九岁时，欧拉向巴黎科学院提交了两篇论文——一篇论船舶桅杆，另一篇论声学原理——从此开始了他辉煌的学术生涯。

1727年，欧拉前往彼得堡。最初他担任自然哲学教授，后来在丹尼尔·伯努利离开后接任数学教授。1735年，他在三天内完成了一项需要数月才能完成的天文计算，但过度用功使他患上高热，失去了一只眼睛的视力。

1741年至1766年间，欧拉应腓特烈大帝之邀居住在柏林，继续他不懈的研究工作。1766年返回彼得堡后不久，他完全失明。然而，他的心智丝毫未减——正是在人生的最后阶段，在疾病、疼痛和失明的困扰下，他创作出了一些最有价值的作品。1783年9月，欧拉因中风突然去世，享年七十六岁。

欧拉的数学天才集中在纯粹分析领域。他以惊人的敏锐洞察力探索抽象量的性质和关系，建立起现代分析学的宏伟体系。他的记忆力极为出色，能完整背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》，并能记住每一页的首行和末行。

本书——《代数基础》——正是在欧拉失明后口述完成的。他的抄写员原是一位裁缝学徒，对数学一无所知，但在欧拉的教导下，这位年轻人不仅记录了全书，还能独立完成最困难的代数计算。这一事实本身就是对本书教学方法的最佳证明。

德文版编者序言

我们向代数爱好者呈上这部著作，其俄文译本已于两年前问世。这位著名作者的目的是编写一部初等教材，使初学者无需任何其他帮助即可完全掌握代数。失明使他产生了这个想法，而他活跃的心灵不容许他推迟执行。为此，欧拉先生选择了一位从柏林带来的年轻人——此人精通算术，但对数学毫无所知，原学裁缝手艺，资质也只是一般。然而，这位年轻人不仅掌握了大师所教授和口述的内容，还能在短时间内完成最困难的代数计算。

法文译者伯努利序言

我所翻译的这部代数著作由彼得堡皇家科学院于1770年以德文出版。赞美这本书等于侮辱其作者的赫赫大名——只需读几页，就能从清晰的讲解中看出初学者能从中获得怎样的益处。拉格朗日先生为第二部分所作的附注是促使我翻译本书的主要原因之一。

第一部分：有限量分析

第一节   简单量的运算方法

第一章   数学概论

1. 凡是能够增大或减小的东西都称为量或大小。一笔钱就是一个量，因为我们可以增加或减少它。重量和其他类似事物也是如此。

2. 从这个定义可以看出，不同种类的量非常繁多，这正是数学不同分支的起源。数学总体上是关于量的科学，或者说是研究度量方法的科学。

3. 我们不能度量任何量，除非参考同类中某个已知的量，并指出它们之间的关系。例如，要确定一笔钱的数量，我们取某种已知的货币（如路易金币、克朗等）作为单位，然后说明给定的总数中包含多少个这样的单位。

4. 因此，所有大小的确定都归结为：任意选取一个同种已知量作为度量单位，然后确定所求量与这个已知度量的比例。这个比例总是用数来表示。所以，数不过是一个量与另一个任意选定为单位的量之间的比例。

5. 由此可见，所有的量都可以用数来表示，而全部数学科学的基础必须建立在对数的科学的完整论述上。这个数学的基础部分称为分析或代数。

第二章   加号（+）和减号（−）的说明

8. 当我们需要将一个给定的数加到另一个数上时，用符号 $+$（读作"加"）表示，放在第二个数前面。例如 $5+3$ 表示必须将 $3$ 加到 $5$ 上，结果是 $8$。同理 $12+7=19$，$25+16=41$。

9. 我们也使用相同的加号来连接多个数。例如 $7+5+9$ 表示将 $5$ 和 $9$ 依次加到 $7$ 上，结果是 $21$。

10. 在代数中，为了使数的表示更加一般化，我们用字母 $a, b, c, d$ 等来代表数。因此，表达式 $a+b$ 表示我们用 $a$ 和 $b$ 所代表的两个数的和，这些数可以很大也可以很小。

16. 因此，在代数中，简单量就是考虑了前面的符号的数。在前面有 $+$ 号的量称为正量，前面有 $-$ 号的量称为负量。

17. 正数可以表示一个人实际拥有的财产，负数可以表示他的债务。例如，一个人有100克朗但欠50克朗，他的实际财产为 $100-50=50$。

18. 因此，正如正数无疑大于零一样，负数小于零。自然数序列为：

如果反向延续，则得到负数序列：

第三章   简单量的乘法

23. 当有两个或多个相等的数要相加时，可以简写。例如 $a+a$ 等同于 $2 \times a$，$a+a+a$ 等同于 $3 \times a$。这就是乘法的概念。

26. 当乘数也用字母表示时，我们直接将它放在被乘数前面。例如 $b$ 乘以 $a$，乘积写作 $ba$ 或 $ab$。如果再乘以 $c$，得到 $abc$。

31–33. 关于符号的乘法规则：

• $+a$ 乘以 $+b$ 得 $+ab$
• $+a$ 乘以 $-b$ 得 $-ab$
• $-a$ 乘以 $+b$ 得 $-ab$
• $-a$ 乘以 $-b$ 得 $+ab$

简言之：同号相乘得正，异号相乘得负。

第四章   整数的因数分解

38–39. 有些整数不能分解为因数（除了1和自身），这类数称为素数或质数，如 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$ 其余能分解为因数的数称为合数。

40. 素数的排列至今没有发现任何确定的规律。

43. 任何合数都可以唯一地分解为素因数的乘积。例如 $360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$。

第五章   简单量的除法

45. 当一个数要被分成若干相等的部分时，就用除法。被分的数称为被除数，等分的份数称为除数，每一份的大小称为商。

55–56. 除法的符号规则与乘法相同：同号相除得正，异号相除得负。

第六章   整数的整除性质

59. 以2为除数时，能被2整除的数（$2, 4, 6, 8, \ldots$）称为偶数，可用 $2a$ 表示；不能被2整除的数（$1, 3, 5, 7, \ldots$）称为奇数，可用 $2a+1$ 表示。

60. 以3为除数时，所有整数分为三类：$3a$（能被3整除）、$3a+1$（余1）和 $3a+2$（余2）。

62. 类似地，对于任何除数 $n$，所有整数可分为 $na, na+1, na+2, \ldots, na+(n-1)$ 这 $n$ 类。

第七章   分数概论

68–70. 当一个数不能被另一个数整除时，商用分数表示。将被除数 $a$ 除以除数 $b$，商写作 $\frac{a}{b}$。上面的数称为分子，下面的数称为分母。

72. 当分子等于分母时，分数等于1。分子小于分母时，分数小于1（真分数）；分子大于分母时，分数大于1（假分数）。

81–83. 分母越大，分数越小，但永远不会等于零。只有当分母为无穷大（$\infty$）时，分数才等于零。由此可知 $\frac{1}{0} = \infty$。

第八章   分数的性质

86. 分数的基本性质：将分子和分母同时乘以（或除以）同一个数，分数的值不变。即

这是分数理论的基础。由此，任何分数都可以化为最简形式（约分）。

第九章   分数的加减

94–97. 同分母分数的加减只需加减分子。异分母分数须先通分。一般地：

第十章   分数的乘除

106. 分数乘法法则：分子乘分子得新分子，分母乘分母得新分母。

108–110. 分数除法法则：将除数的分子分母颠倒后相乘。

第十一章   平方数

115. 一个数乘以自身的乘积称为平方，该数称为平方根。

117. 相邻平方数之差依次为 $3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$，恰好是奇数序列。

122. 每个平方都有两个根：一个正的，一个负的。$+a$ 和 $-a$ 的平方都是 $a^2$。

第十二章   平方根与无理数

125–128. 当一个数不是完全平方数时（如 $12$），它的平方根不能用分数精确表示。这类数称为无理数（或不可公度数）。我们用符号 $\sqrt{\phantom{x}}$ 来表示平方根：$\sqrt{12}$ 表示自乘得 $12$ 的数。

131–136. 无理数的基本运算：

化简：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$。

第十三章   虚数（不可能的量）

139–143. 由于正数和负数的平方都是正数，因此负数的平方根不属于任何已知的数类。例如 $\sqrt{-4}$，没有任何实数自乘等于 $-4$。这类数称为虚数或想象量。

147. 任何虚数 $\sqrt{-a}$ 都可以写成 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-1}$ 的形式。例如：

148. 两个虚数相乘可以得到实数：$\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{6}$。

151. 当一个问题的解涉及虚数时，说明所求是不可能的。例如，将 $12$ 分为两部分使其乘积为 $40$，解为 $6+\sqrt{-4}$ 和 $6-\sqrt{-4}$——都是虚数，故问题无解。

第十四章   立方数

152. 一个数的平方再乘以该数本身，得到的乘积称为立方。$a$ 的立方是 $a^3$。前几个正整数的立方为：$1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, \ldots$

第十五章   立方根

立方根用符号 $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ 表示。$\sqrt[3]{a}$ 表示自身立方等于 $a$ 的数。例如 $\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{27}=3$。大多数整数的立方根是无理数。

第十六章   幂的概论

$a$ 的 $n$ 次幂写作 $a^n$，其中 $n$ 称为指数。幂的序列为：

特别地，$a^0 = 1$（任何数的零次幂等于 $1$）。

第十七章   幂的运算

幂的乘法：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

幂的除法：$a^m \div a^n = a^{m-n}$

第十八章   根与幂的一般关系

$a$ 的 $n$ 次根 $\sqrt[n]{a}$ 是满足 $x^n = a$ 的数 $x$。当 $n$ 为偶数时，有正负两个根。

第十九章   用分数指数表示无理数

$\sqrt{a} = a^{1/2}$，$\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$，一般地 $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$。

这使得所有的根都可以用幂来统一表示，例如 $\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}$。

第二十章   各种运算方法及其联系

代数中的六种基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方和开方。它们两两互逆。

第二十一章   对数概论

如果 $a^x = b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，写作 $x = \log_a b$。

对数的基本性质：$\log(bc) = \log b + \log c$，$\log(b/c) = \log b - \log c$，$\log(b^n) = n \log b$。

第二十二章   现行对数表

常用对数以 $10$ 为底。$\log 1 = 0$，$\log 10 = 1$，$\log 100 = 2$，$\log 1000 = 3$，以此类推。

布里格斯和弗拉克编制的对数表给出了从 $1$ 到 $100000$ 的所有整数的七位小数对数。

第二十三章   对数的表示方法

给定 $\log 2 = 0.3010300$，$\log 3 = 0.4771213$，可以计算出许多其他数的对数。例如 $\log 4 = 2\log 2 = 0.6020600$，$\log 6 = \log 2 + \log 3 = 0.7781513$。

第二节   复合量的运算方法

第一章   复合量的加法

复合量是由多个项组成的表达式。例如 $a+b+c$ 是三项之和。加法只需将同类项合并。例如：$(3a + 2b) + (5a - b) = 8a + b$。

第二章   复合量的减法

减法时改变被减式中各项的符号后相加：$(a+b) - (c+d) = a+b-c-d$。

第三章   复合量的乘法

将第一个量的每一项与第二个量的每一项相乘，然后相加。例如：

重要特殊情形：

第四章   复合量的除法

复合量的除法类似于算术中的长除法。例如 $a^2 - 2ab + b^2$ 除以 $a-b$ 得 $a-b$。

第五章   分数展开为无穷级数

通过逐步除法，可以将分数展开为无穷级数。例如：

只要 $|a| < 1$，级数收敛到分数的值。当 $a=1$ 时，$\frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} = \infty$，而级数 $1+1+1+\cdots$ 也趋于无穷。

第六章   复合量的平方

三项式的平方：$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$。

一般法则：复合量的平方等于各项的平方加上各项两两乘积的两倍。

第七章   复合量的开方

如何从平方式提取平方根：从 $a^2 + 2ab + b^2$ 提取出 $a+b$。

第八章   无理量的运算

含根号的量的加减乘除运算。例如：$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 9 - 2 = 7$。

第九章   立方与立方根

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。

第十章   高次幂

二项式 $(a+b)$ 的高次幂展开。各项系数构成帕斯卡三角（或杨辉三角）：

第十一章   字母排列（二项式定理的证明）

通过研究从 $n$ 个对象中取 $k$ 个的排列数和组合数，可以推导出二项式定理的一般公式：

第十二章   无理幂的无穷级数表示

当指数为分数时，二项式展开为无穷级数：

第十三章   负幂的展开

$\frac{1}{(1+x)^n}$ 同样可以展开为无穷级数。

第三节   比与比例

第一章   算术差

两个数 $a$ 和 $b$ 的算术差（或算术比）为 $a - b$。

第二章   算术比例

若 $a - b = c - d$，则称 $a, b, c, d$ 构成算术比例。

第三章   等差数列

公差为 $d$ 的等差数列：$a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$。第 $n$ 项为 $a + (n-1)d$。

第四章   等差数列求和

前 $n$ 项之和：

其中 $l$ 为末项。高斯的著名故事即与此相关：$1+2+3+\cdots+100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$。

第五章   形数（多角数）

三角数：$1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$，第 $n$ 个三角数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。

四角数（即平方数）：$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$

五角数：$1, 5, 12, 22, 35, \ldots$，第 $n$ 个 $m$ 角数的一般公式为 $\frac{n[(m-2)n - (m-4)]}{2}$。

第六章   几何比

两个数 $a$ 和 $b$ 的几何比为 $a : b$ 或 $\frac{a}{b}$。

第七章   最大公约数

利用辗转相除法（欧几里得算法）求两个数的最大公约数。例如求 $252$ 和 $105$ 的最大公约数：$252 = 2 \times 105 + 42$，$105 = 2 \times 42 + 21$，$42 = 2 \times 21 + 0$，故最大公约数为 $21$。

第八章   几何比例

若 $a : b = c : d$（即 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$），则称 $a, b, c, d$ 构成几何比例，且 $ad = bc$（交叉乘积相等）。

第九章   比例法则的应用

比例在实际问题中的广泛应用，如商品定价、单位换算等。

第十章   复合比

将多个比组合在一起，形成复合比。$a:b$ 与 $c:d$ 的复合比为 $ac : bd$。

第十一章   等比数列

公比为 $r$ 的等比数列：$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$。前 $n$ 项之和：

当 $|r| < 1$ 时，无穷级数之和为 $S = \frac{a}{1-r}$。

第十二章   无穷小数（无限循环小数）

每一个分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。例如 $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$，$\frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots$

第十三章   利息计算

单利公式：$A = P(1 + rt)$。复利公式：$A = P(1+r)^t$。

通过对数可以求出达到某一金额所需的时间。

第四节   代数方程及其求解

第一章   问题求解概论

在代数中，未知量用字母（如 $x$）表示，然后根据题目条件建立方程。解方程就是求出未知量的值。

第二章   一次方程

形如 $ax + b = c$ 的方程。移项得 $ax = c - b$，故 $x = \frac{c-b}{a}$。

第三章   一次方程应用题

通过大量实例说明如何将实际问题转化为一次方程求解。

第四章   多元一次方程组

两个未知数的方程组可用消元法求解。例如：

由第一个方程得 $x = \frac{16-3y}{2}$，代入第二个方程求得 $y$，再回代求 $x$。

第五章   纯二次方程

形如 $x^2 = c$ 的方程。解为 $x = \pm\sqrt{c}$。

各种应用问题，例如：两数之和为 $10$，乘积为 $21$，求这两个数。设一数为 $x$，则另一数为 $10-x$，方程为 $x(10-x) = 21$，化简为 $x^2 - 10x + 21 = 0$。

第六章   混合二次方程的求解

一般二次方程 $x^2 + px = q$ 的求解方法——配方法：

因此：

这就是著名的求根公式。对于一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$：

第七章   多角数的根

给定一个多角数，求其在多角数序列中的位置，归结为求解二次方程。

第八章   二项式的平方根

如何提取 $a + \sqrt{b}$ 形式的表达式的平方根。

第九章   二次方程的性质

若 $p$ 和 $q$ 是方程 $x^2 - Sx + P = 0$ 的两个根，则：

第十章   纯三次方程

形如 $x^3 = a$ 的方程，解为 $x = \sqrt[3]{a}$。讨论了如何通过代换将某些方程化为纯三次形式。

第十一章   完全三次方程的求解

通过消去二次项，将一般三次方程 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ 化为标准形式 $y^3 + py + q = 0$。

第十二章   卡丹（Scipio Ferreo）公式

对于方程 $x^3 = fx + g$，卡丹公式给出：

例如 $x^3 = 6x + 9$：$f=6, g=9$，算得 $g^2 - \frac{4}{27}f^3 = 81 - 32 = 49$，$\sqrt{49}=7$，故

当判别式 $g^2 - \frac{4}{27}f^3 < 0$ 时出现"不可约情形"——尽管方程有三个实根，公式中却出现虚数。

第十三章   四次方程的求解

利用适当的代换和分解，将四次方程化为两个二次方程的乘积来求解。

第十四章   邦贝利法则

将四次方程的求解归结为三次方程。设四次方程为 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，先消去三次项，然后通过引入辅助变量将其分解。

第十五章   四次方程的新解法

这是欧拉本人发明的方法。设四次方程的根为 $p+q+r$、$p-q-r$、$-p+q-r$、$-p-q+r$ 的形式，将问题转化为求 $p^2, q^2, r^2$，后者满足一个三次方程。

第十六章   近似解法

当方程无法精确求解时，用牛顿逼近法求近似解。设 $n$ 是根的近似值，令 $x = n + p$，忽略 $p$ 的高次项，求得更精确的值。

例如求 $x^2 = 2$，若已知 $n \approx \sqrt{2}$，则更精确的近似为

取 $n=1$，得 $x = \frac{3}{2}$；再取 $n = \frac{3}{2}$，得 $x = \frac{17}{12}$；再迭代得 $x = \frac{577}{408}$，其平方与 $2$ 的差仅为 $\frac{1}{166464}$。

另一种方法是递推级数法：对于 $x^2 = x + 1$，构造序列使每一项等于前两项之和：$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$（即斐波那契数列），相邻两项之比逐渐逼近方程的根（黄金比例）。

第二部分：不定量分析

不定分析（丢番图分析）研究具有无穷多组解的方程，特别是要求解为整数或有理数的情形。

第一章   多未知数一次方程

方程 $ax + by = c$（$a, b, c$ 为整数）在 $\gcd(a,b) \mid c$ 时有整数解。

方法：利用辗转相除法找到特解，然后通解为 $x = x_0 + bt,\; y = y_0 - at$。

问题：求一个数，被 $11$ 除余 $3$，被 $19$ 除余 $5$。
设 $N = 11p + 3 = 19q + 5$，则 $11p = 19q + 2$。利用辗转相除法求得 $N = 209u + 157$，最小正值为 $157$。

第二章   盲人法则（多元方程）

问题：30人（男人、女人、小孩）在酒馆花50克朗。男人每人3克朗，女人2克朗，小孩1克朗。各有多少人？
设男 $p$ 人、女 $q$ 人、童 $r$ 人：$p + q + r = 30$，$3p + 2q + r = 50$。消去 $r$ 得 $2p + q = 20$，故 $q = 20 - 2p$，$r = 10 + p$。$p$ 从 $0$ 到 $10$ 均可，共11组解。

第三章   复合不定方程

涉及一个未知量不超过一次的复合不定方程的求解。

第四章   使 $\sqrt{a+bx+cx^2}$ 有理化

讨论在何种条件下，二次根式 $\sqrt{a + bx + cx^2}$ 可以通过适当选取 $x$ 变为有理数。分三种情形：

• $a$ 为完全平方：设根为 $f + px$，配方求 $x$
• $c$ 为完全平方：设根为 $px + g$，类似求解
• $a$ 和 $c$ 都为完全平方：两种方法均可用

第五章   $a+bx+cx^2$ 不可为平方的情形

讨论了某些特定形式下不定方程不可能有整数解的情况，利用模运算的方法进行判定。

第六章   $ax^2+b$ 在整数中为平方

讨论形如 $ax^2 + b = y^2$ 的不定方程的整数解，特别是 $x^2 + y^2 = z^2$（勾股方程）的参数解：

第七章   使 $an^2+1$ 为完全平方

著名的佩尔方程 $x^2 - ay^2 = 1$（$a$ 不是完全平方数）。例如 $x^2 - 2y^2 = 1$ 的最小解为 $x=3, y=2$。

第八章   使三次根式 $\sqrt{a+bx+cx^2+dx^3}$ 有理化

将含三次项的根式有理化的方法。

第九章   使四次根式 $\sqrt{a+bx+cx^2+dx^3+ex^4}$ 有理化

分情况讨论：首项为平方、末项为平方、首末项均为平方三种情形。当第二项和第四项缺失时，方法不适用。

第十章   使立方根式 $\sqrt[3]{a+bx+cx^2+dx^3}$ 有理化

类似的方法应用于立方根式。

第十一章   二次型 $ax^2+bxy+cy^2$ 的因式分解

讨论如何将二元二次型分解为两个一次因式的乘积。

第十二章   $ax^2+cy^2$ 化为平方与高次幂

研究何时 $ax^2 + cy^2$ 可以表示为平方数。利用恒等式：

这说明两个平方和的乘积仍然是两个平方的和。

费马定理：不存在满足 $x^4 + y^4 = z^2$ 或 $x^4 - y^4 = z^2$ 的正整数解。欧拉给出了费马无穷递降法的证明。

第十三章   不可约为平方的 $ax^4+by^4$ 型表达式

证明了 $x^4 + 4y^4 = z^2$ 不可能的定理，以及相关的不可能性结果。

第十四章   综合问题

大量丢番图方程的综合问题。例如：

问题：将一个平方和的数 $a = c^2 + d^2$，求 $x$ 使得 $a+x$ 和 $a-x$ 都是完全平方。
令 $a+x = p^2$，$a-x = q^2$，则 $p^2 + q^2 = 2a$。利用参数化 $p = \frac{2gtu + f(u^2-t^2)}{t^2+u^2}$，$q = \frac{2ftu + g(t^2-u^2)}{t^2+u^2}$（其中 $f = c+d, g = c-d$）求解。

第十五章   立方问题

讨论涉及立方数的丢番图方程，例如将一个数表示为两个立方之和。著名的费马大定理断言 $x^n + y^n = z^n$ 对 $n \geq 3$ 没有正整数解。

拉格朗日附注

序言

拉格朗日的这些附注是对欧拉《代数基础》第二部分不定分析的深入补充，写于1771年。它们代表了当时不定分析的最高水平。

第一章   连分数

连分数是形如

的表达式。每个有理数都可以表示为有限连分数，每个无理数可以表示为无穷连分数。

例如 $\sqrt{2}$ 的连分数表示为 $1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}}}$，其渐近分数为

每一个渐近分数都是 $\sqrt{2}$ 的最佳有理逼近。

第二章   新算术问题的求解

利用连分数理论解决各类算术问题，包括整数解的存在性和构造。

第三章   二元一次不定方程的整数解

利用辗转相除法系统化地求解 $ax + by = c$ 型方程的所有整数解。给出了求解的完整算法：

对 $a$ 和 $b$ 做辗转相除，建立相应的递推关系式，从最后一步回溯求出特解。

第四章   不定方程的一般方法

含两个未知量的不定方程（其中一个不超过一次）的一般求解方法。

第五章   使 $\sqrt{a+bx+x^2}$ 有理化的直接一般方法

拉格朗日给出了求解二次不定方程有理解的直接且一般的方法。这一方法比欧拉在正文中给出的方法更为系统和完整。

第六章   二重与三重等式

同时满足两个或三个条件的不定方程问题。

第七章   使 $\sqrt{Ay^2+B}$ 有理化的整数值

给出了求 $Ay^2 + B = z^2$ 所有整数解的直接一般方法。这与佩尔方程密切相关。方法基于连分数展开和递推关系。

关键定理：设 $p$ 和 $q$ 是满足 $p - aq$ 和 $p' - aq'$ 异号的整数，且 $pq' - qp' = \pm 1$，则利用辗转相除法建立的递推序列给出方程的所有解。

构建两个递增的整数序列 $p^0, p', p'', \ldots$ 和 $q^0, q', q'', \ldots$，满足：

其中 $\mu < a$，且每个 $\mu$ 由相应的公式确定。

第八章   $p^2 = Aq^2 + 1$ 型方程的注记

这是佩尔方程的标准形式。拉格朗日讨论了常用方法的局限性，并指出连分数方法的优越性。当 $\sqrt{A}$ 的连分数展开具有周期时，最小解可以直接从渐近分数读出。

第九章   代数函数乘积的相似性

研究如何找到各次代数函数，使得它们的乘积总是产生相似的函数。这涉及到数论中范数的概念——拉格朗日指出，形如 $(p + q\sqrt{-n})(p - q\sqrt{-n}) = p^2 + nq^2$ 的恒等式，将丢番图问题与代数数论联系起来。

费马的许多定理（尤其是关于哪些素数可以表示为两个平方之和的定理）都可以在这个框架下理解和证明。

— 全书完 —
Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, 1765
Joseph-Louis Lagrange, Additions, 1771